Torre de Hanói

   

   Conta à lenda que em um templo indiano, que contém uma grande sala com três pilares, onde Brahma colocou 64 discos de ouro em um desses pilares. Sacerdotes brâmanes foram movendo esses discos, de acordo com as regras do jogo. O enigma é, portanto, também conhecido como a Torre de Brahma. Segundo a lenda, quando o último movimento do jogo é concluído, o mundo vai acabar. 

   O jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883, que a partir da lenda criou a Torre de Hanói, jogo que consiste em uma base contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, seguindo a regra de que um disco maior nunca fique em cima de outro menor.

   O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três. O jogo parece impossível para muitos novatos, mas pode ser resolvido com um simples algoritmo. O número de movimentos necessários para resolver uma torre de Hanoi é 2^n -1, onde n é o número de discos.

 

Atividades aplicadas no PIBID

OBMEP 2

01. Seu João dono da quitanda, contou para Luciana que recebeu hoje uma remessa de 5 caixas contendo 12 dúzias de ovos cada uma, e que havia pago R$ 15,00 a caixa. Do total recebido, 120 ovos se quebraram. Por quanto seu João deve vender cada dúzia dos ovos restantes, se ele desejar ter um lucro total igual ao preço de custo?

02. Uma escola decidiu organizar uma excursão à Angra do Reis, RJ. Inscreveram-se 140 alunos, que serão acompanhados por 10 professores. A viagem vai ser feita em ônibus. Cada ônibus tem capacidade para 41 passageiros e cobra R$ 200,00 para fazer a viagem. Qual o valor que cada aluno pagará para que a excursão seja possível?

03. Uma florista colheu 49 kg de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido imediatamente a R$ 1,25 ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a R$ 3,25. O processo de desidratação faz as flores perderem 5/7 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?

04. A prefeitura de certa cidade fez uma campanha que permite trocar quatro garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 garrafas vazias de 1 litro fazendo várias dessas trocas?

05. Uma fila tem 21 pessoas, incluindo Samuel e Elisa. Há 9 pessoas atrás de Samuel e 6 na frente de Elisa. Quantas pessoas há entre Samuel e Elisa?

06. Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres, 3% das quais usam apenas um brinco. Das demais, a metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual é o número total de brincos dessa povoação?

07. Um caminhão vai ser carregado com 105 sacos de batata com 45 kg cada um. Se o peso do caminhão vazio é de 2,8t, qual será o peso do caminhão com a carga?

08. Uma padaria produz 400 pães com 10 kg de farinha de trigo.

a) Quantos pães ela produzirá com 12,5 kg de farinha?

b) Quantos quilogramas de farinha são necessários para a produção de 750 pães?

09. Na volta da pescaria, Pedro disse para Carlos “Se você me der um de seus peixes, eu ficarei com o dobro do número de peixes com que você vai ficar”.   Carlos respondeu: “E se, em vez disso, eu jogar um dos seus peixes no rio, ficaremos com o mesmo número”.  Quantos peixes eles pescaram ao todo?

OBMEP 3 e ENEM

01. Um manuscrito antigo do “Pirata Barba Negra” indica que, numa certa ilha do Caribe, há um tesouro enterrado e dá as seguintes dicas da sua localização: Quando se desembarca na ilha, vêem-se duas grandes árvores, que chamarei de A e B. Para localizar o tesouro, caminhe de A para B, contando os passos. Ao chegar em B, vire à direita e caminhe metade do que andou de A para B. Daí caminhe na direção de A, contando os passos. Chegando em A, caminhe, na direção contrária a B, o total de passos que já andou. Nesse ponto X enterrei o tesouro. Se a ilha é plana e a distância entre as duas árvores é de 10m, então a distância de A para X é igual a?

02. A tabela abaixo mostra o preço (em reais) do kg de cada mercadoria em dois pontos de venda distintos: 

Uma senhora comprou 3 kg de feijão, 5 kg de arroz e 2 kg de farinha, escolhendo os pontos de venda com menores preços, e pagou R$ 13,50 no total. 

Pode-se afirmar que o preço do kg de feijão no armazém é igual a: 

03. Dois casais foram ao centro de convivência de uma Universidade para lanchar. O primeiro casal pagou R$5,40 por duas latas de refrigerantes e uma porção de batatas fritas. O segundo casal pagou R$ 9,60 por três latas de refrigerantes e duas batatas fritas. Sendo assim, podemos afirmar que, nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma lata de refrigerante e o preço de uma porção de batatas fritas era de: 

04. Um casal chega no Aeroporto Internacional e precisa alugar um carro por um único dia. Consultadas duas agências no próprio Aeroporto, verificou que a primeira agência cobra R$ 62,00 pela diária e R$ 1,40 por quilômetro rodado. A outra agência cobra R$ 80,00 pela diária e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Nestas condições, podemos afirmar que: 

a) A primeira agência oferece o melhor negócio, qualquer que seja a quilometragem rodada. 

b) A primeira agência cobra menos somente até 80km rodados. 

c) A segunda agência é melhor acima de 100km rodados. 

d) A segunda agência é melhor, se rodados no máximo 120km. 

e) Existe uma quilometragem inferior a 100, na qual as duas agências cobram o mesmo valor. 

05. Em uma pet-shop, existem 5 gaiolas dispostas uma ao lado da outra. Em cada uma destas gaiolas, será colocado apenas um dos seguintes animais: 1 cachorro, 1 gato, 1 rato, 1 periquito e, 1 canário. De quantas maneiras diferentes poderá ser feita a distribuição destes animais nas gaiolas, de modo que os pássaros fiquem em gaiolas vizinhas? 

06. Considere três circunferências com raios medindo 5cm, 4cm e 3cm respectivamente. Se elas são traçadas de forma que cada uma delas é tangente exterior às outras duas, como mostra a figura abaixo, então podemos afirmar que o valor da área do triângulo formado pelos centros dessas circunferências é?

Enigma de Diofanto

   Diofanto tem o seu nome ligado à cidade que foi o maior centro de atividade matemática na Grécia antiga - Alexandria. Pouco se sabe acerca da sua vida. Têm sido sugeridas datas distanciadas de um século, antes ou depois do ano 250 d. C. Por uns versos encontrados no seu túmulo, escritos em forma de um enigmático problema, pode-se deduzir sua idade ao morrer.

“Esta túmulo descansa Diofanto. A pedra de dirá a idade que a morte o alcançou. Sua infância durou a sexta parte de sua vida. Sua adolescência, um doze avos do número dos seus anos.  Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar,  nascendo-lhe um filho depois de 5 anos de casamento, criança esta que viveu metade do que o pai viveu. O Matemático ainda viveu mais 4 anos, depois da morte de seu filho. Tudo isso somado é o número de anos que Diofanto viveu ” 

Jogos Desafios

Jogo dos Sapinhos

Objetivo: inverter os sapos de lado, ou seja, os que estão na esquerda devem ser levados para a direita. 
Regra: Cada sapo só pode pular para a pedra à frente ou saltar um sapo do time oposto.



Travessia da Ponte 

Objetivo: Este consiste em ajudar a toda a família a atravessar a ponte. 
Regras: 
1. No máximo dois integrantes podem cruzar a ponte levando o lampião. 
2. Cada pessoa anda numa velocidade: 1, 3, 6, 8 e 12. 
3. A dupla anda na velocidade do mais lento e o lampião dura apenas 30 segundos.



Travessia do Rio 

Objetivo: Atravesse as pessoas para o outro lado rio. 
Regras: 
1. Somente o Pai, a Mãe e o Policial sabem pilotar o barco. 
2. A Mãe não pode ficar sozinha com os filhos. 
3. O Pai não pode ficar sozinho com as filhas. 
4. o prisioneiro não pode ficar sozinho com nenhum integrante da família. 
5. O barco só pode transportar duas pessoas por vez. 
6. Você pode ir e vir com as pessoas quantas vezes precisar.

Lista de Exercícios para Revisão

Segue uma lista de exercícios, que servem para revisão alguns conteúdos básicos da matemática. Deixem suas resoluções nos comentários.

1. (PROFMAT) Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este bilhete: “Dividam igualmente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a  terça parte do dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era  o primeiro, pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro à mãe 

deixou? 

(A) 25 reais 

(B) 35 reais 

(C) 45 reais 

(D) 48 reais 

(E) 55 reais

2. (OBMEP) Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual é o preço da pizza? 

A) R$ 45,50 

B) R$ 48,50 

C) R$ 50,50 

D) R$ 52,50 

E) R$ 54,50

3. Luciene possui um recipiente com 9 litros de uma mistura que possui 50% de álcool e 50% de água.  Ela quer colocar  água no recipiente de tal forma que a parte de  álcool represente apenas 30% da mistura. Quantos litros de água ela deverá colocar?

4.  Um certo número de meninos e meninas aguardam pelo ônibus. No primeiro ônibus que passa no ponto em que se encontram, embarcam somente 15 meninas e ficam dois meninos para cada menina no ponto de ônibus. No segundo ônibus que passa, embarcam somente 45 meninos e ficam  cinco meninas para cada menino no ponto de ônibus. Determine o número de meninos e meninas que estavam no ponto antes de  passar o primeiro ônibus.

5. Meu vizinho, com 20 m de cerca, construiu um cercado retangular de 32 m² de área, utilizando seu muro como um dos lados. Quantos medem os lados desse retângulo?

6. Cinco CDs de musicas de estilos diferentes (clássico, popular, sertanejo, rock e samba) estão dispostos em uma pilha. O sertanejo está abaixo do clássico e acima do popular. O samba está acima do rock, e este está abaixo do sertanejo. O clássico e o sertanejo estão encostados um no outro, assim como o sertanejo e o rock. Então, pode-se afirmar que os estilos dos CDs que estão no topo e na base da pilha são, respectivamente:

a) clássico e popular

b) clássico e rock

c) samba e popular

d) samba e rock

e) sertanejo e popular

7. (UFPE) Segundo pesquisa recente, 7% da população brasileira é analfabeta, e 64% da  população de analfabetos é do sexo masculino. Qual percentual da população brasileira é formada por analfabetos do sexo feminino?

A) 2,52%

B) 5,20%

C) 3,60%

D) 4,48%

E) 3,20% 

8. Numa sala retangular  foram gastos 26,8 m de rodapé.  Essa  sala tem duas portas de 0,80 m de vão cada uma.  Quais  são as medidas dos lados dessa sala sabendo que o lado maior mede 1,8 m a mais que o lado menor?

9. De  um placa de madeira  de 2,3 m de largura e 3,2 m de comprimento, um marceneiro  cortou 3 quadrados de 0,7 m de lado e 2 quadrados de 0,6 m de lado. Qual é a área do pedaço 
que sobrou?

(a)  4,57
(b)  4,67
(c)  3,57
(d)  4,17

10. Um caixa  automático  de um banco possui notas de 2, 5, 10 e 50 reais para  operações  de saque e está programado para disponibilizar sempre o menor número possível de notas para o sacador.  Nestas  condições,  uma pessoa  que faz um saque de R$ 299,00  implicará um total de notas igual a:

(a)  10
(b)  11
(c)  12
(d)  13

“Um bom professor, um bom começo”

   O movimento Todos Pela Educação lançou uma de mobilização sob o slogan “Um bom professor, um bom começo”, produzida pela DM9DDB, agência do grupo ABC. A campanha tem como objetivo a valorização do bom professor, aquele que tem o foco no aprendizado de seus alunos e que, assim, contribui efetivamente para a melhoria da qualidade da Educação no Brasil.
   Esse é um dos objetivos do PIBID a valorização da carreira docente, e consequentemente, de contribuir na promoção de um ensino de qualidade nas escolas públicas.

Curiosidades Sobre Números

Número mágico

O número 1089 é conhecido como número mágico. Veja por que:

Escolha qualquer número de três algarismos diferentes. Por exemplo, 602. Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior, assim: 602 de trás para frente é 206. Subtraia o menor do maior, temos: 602 – 206 = 396

Agora some este resultado com o seu inverso, assim: 396 + 693 = 1089 

Faça a experiência com qualquer número de três algarismos diferentes e verá que o resultado será sempre 1089?

Seu Telefone

1 - Digite os 4 primeiros algarismos de Seu telefone residencial, comercial  ou celular.
2 - multiplique por 80; 

3 - some 1; 

4 - multiplique por 250; 

5 - some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone; 

6 - some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo; 

7 - diminua 250; 

8 - divida por 2… 

Reconhece o resultado?

Números De Três Algarismos

Escolha qualquer número de três algarismos. Por exemplo, 312. Agora escreva este número na frente dele mesmo, assim: 312312

Agora divida por 13: 312312 :13 = 24024
Agora divida o resultado por 11: 24024 : 11 = 2184

Divida novamente o resultado, agora por 7: 2184 : 7 = 312

Viu só? O resultado é o numero de três algarismos que você escolheu: 312. Pode experimentar com qualquer outro número de três algarismos. O resultado será sempre o mesmo.

Número Capicua

Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:

Partindo do número 84: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que é um número capicua.

Exemplo de Capicua

20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro de 2002 foi um instante histórico. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio:

20:02 20/02/2002

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro de 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. 

Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Números Amigos

Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.

Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.

Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220.

Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. 

Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.

Para Descontrair ...

Exame Nacional do Ensino Médio 2012

O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) é uma prova criada em 1998, realizada pelo Ministério da Educação (MEC), que tem como objetivo avaliar a qualidade do ensino médio no país, atualmente o e seu resultado serve para acesso ao ensino superior em universidades públicas brasileiras através do SiSu (Sistema de Seleção Unificada).

O exame é realizado anualmente e tem duração de dois dias, contendo 180 questões objetivas (divididas em quatro grandes áreas), no primeiro dia, são 90 questões, sendo 45 na área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias e 45 de Ciências Humanas e suas Tecnologias e no segundo dia são aplicadas as provas com 45 perguntas sobre Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; e 45 de Matemática e suas tecnologias, e uma questão de redação. 

Este ano o período de inscrição já se encerrou, os candidatos que tiverem suas inscrições confirmadas poderão fazer as provas nos dias 03 e 04 de novembro, em todo o país. Todas as informações necessárias, como o local da prova estão no cartão de confirmação de inscrição do Enem 2012, que será entregue pelos Correios diretamente no endereço dos candidatos.

Atualmente no Colégio estão abertas duas turmas de treinamento para o Enem, as aulas acontecem nas quintas-feiras, uma turma durante a manhã e outra a tarde. São alunos do Ensino Médio, que participam com o objetivo de melhorar seus conhecimentos matemáticas e se darem bem na prova de matemática do Enem.
Nas aulas são trabalhados exercícios que abrangem vários conteúdos da matemática, são problemas que estimulam o raciocínio e que propiciam aos alunos experiência em como resolver exercícios similares aos que cairão na prova do Enem.

Turma da manhã
Bolsista: Jucimara Rufato Corá

Turma da Tarde
Bolsistas: Geovani Raulino, Eliane Hutt e Cristéwany Regina Capitani

Avaliação do conhecimento matemático dos alunos do Colégio Estadual Arnaldo Busato

No início do ano letivo de 2011, iniciamos a aplicação de uma série de provas no colégio, com o objetivo de fazer um diagnóstico em relação ao aprendizado de matemática dos alunos em relação aos conteúdos das séries anteriores a série atual do aluno. Cada série realizou uma prova diferente, todas preparadas pelos bolsistas PIBID que no período trabalham no Colégio Estadual Arnaldo Busato – EFMNP.

Essas provas foram aplicadas durante as três últimas semanas do mês de fevereiro pelos próprios bolsistas. O tempo estipulado da realização das provas que os alunos teriam a fazer era de uma hora/aula e deveriam responder as questões apenas com o seu conhecimento sem usar calculadora ou algo que facilitasse os cálculos. Todos os alunos dos períodos matutino e vespertino realizaram as provas, que foram aplicadas em 41 turmas.

A realização das avaliações do conhecimento matemático dos alunos do Colégio Estadual Arnaldo Busato – EFMNP levou ao surgimento de um projeto de pesquisa; intitulado “Relatório do Diagnóstico Estatístico do Rendimento Acadêmico de Alunos das Séries Finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio”, tal projeto visa dar um tratamento estatístico às informações recolhidas durante a aplicação das provas aos alunos do colégio. Fomos orientados no projeto pela Professora Doutora Luz Delicia Castillo Villalobos, no qual organizamos as informações coletadas visando situar os alunos em três grandes grupos, para assim os direcionar as turmas do PIBID conforme suas necessidades: reforço ou treinamento para OBMEP.

A publicação desse projeto foi através de pôster, apresentado na “I Jornada de Integração do Programa Institucional de Iniciação a Docência na UTFPR campus Pato Branco”, este evento realizado no mês de junho de 2011 na Universidade que contou com a participação de todos os bolsistas PIBID das áreas de Matemática, Química e letras. Nesta jornada houve um debate sobre as experiências vividas pelos bolsistas durante o período em que o projeto se desenvolveu.

Os Pôsteres apresentados estão disponíveis nos links a seguir:

http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/Arquivos/1%BA_FORUM_PIBID_Curitiba_BanerPIBID2011LuzA.pdf

http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/Arquivos/1%BA_FORUM_PIBID_Curitiba_BanerPIBID2011LuzB.pdf

Apresentação do pôster na I Jornada de Integração do Programa Institucional de Iniciação a Docência na UTFPR campus Pato Branco.

Bolsistas: Jucimara R. Corá, Joel T. M. Tavares (atualmente bolsista

 em Francisco Beltrão) e Renan L. Bolson (ex-bolsista).

Bolsistas: Geovani Raulino (dir.) e Deidson V. Kurpel (ex-bolsista).